Codigo BCD / Gray / BCD Exceso de 3

Decimal codificado en binario

En sistemas de computación, Binary-Coded Decimal (BCD) o Decimal codificado en binario es un estándar para representar números decimales en el sistema binario, en donde cada dígito decimal es codificado con una secuencia de 4 bits. Con esta codificación especial de los dígitos decimales en el sistema binario, se pueden realizar operaciones aritméticas como suma, resta, multiplicación y división de números en representación decimal, sin perder en los cálculos la precisión ni tener las inexactitudes en que normalmente se incurre con las conversiones de decimal a binario puro y de binario puro a decimal. La conversión de los números decimales a BCD y viceversa es muy sencilla, pero los cálculos en BCD se llevan más tiempo y son algo más complicados que con números binarios puros.

Representación BCD

Cada dígito decimal tiene una representación binaria codificada con 4 bits:

Decimal:    0     1     2     3     4     5     6     7     8     9
BCD:     0000  0001  0010  0011  0100  0101  0110  0111  1000  1001

Los números decimales, se codifican en BCD con los bits que representan sus dígitos.

Por ejemplo, la codificación en BCD del número decimal 59237 es:

Decimal:    5    9    2    3    7
BCD:     0101 1001 0010 0011 0111

La representación anterior (en BCD) es diferente de la representación del mismo número decimal en binario puro:

1110011101100101

Fundamentos

En BCD cada cifra que representa un dígito decimal (0, 1,...8 y 9) se representa con su equivalente binario en cuatro bits (nibble o cuarteto) (esto es así porque es el número de bits necesario para representar el nueve, el número más alto que se puede representar en BCD). En la siguiente tabla se muestran los códigos BCD más empleados:

Decimal	Natural	Aiken	5 4 2 1	Exceso 3
0	0000	0000	0000	0011
1	0001	0001	0001	0100
2	0010	0010	0010	0101
3	0011	0011	0011	0110
4	0100	0100	0100	0111
5	0101	1011	1000	1000
6	0110	1100	1001	1001
7	0111	1101	1010	1010
8	1000	1110	1011	1011
9	1001	1111	1100	1100

Como se observa, con el BCD sólo se utilizan 10 de las 16 posibles combinaciones que se pueden formar con números de 4 bits, por lo que el sistema pierde capacidad de representación, aunque se facilita la compresión de los números. Esto es porque el BCD sólo se usa para representar cifras, no números en su totalidad. Esto quiere decir que para números de más de una cifra hacen falta dos números BCD.

• Una forma sencilla de calcular números en BCD es sumando normalmente bit a bit, y si el conjunto de 4 bits sobrepasa el número 9, entonces se le suma un 6 (0110) en binario, para poder volver a empezar, como si hiciéramos un módulo al elemento sumante.

Desde que los sistemas informáticos empezaron a almacenar los datos en conjuntos de ocho bits (octeto), hay dos maneras comunes de almacenar los datos BCD:

• Omisión de los cuatro bits más significativos (como sucede en el EBCDIC)
• Almacenamiento de dos datos BCD; es el denominado BCD "empaquetado", en el que también se incluye en primer lugar el signo, por lo general con 1100 para el + y 1101 para el -.

De este modo, el número 127 sería representado como (11110001, 11110010, 11110111) en el EBCDIC o (00010010, 01111100) en el BCD empaquetado.

El BCD sigue siendo ampliamente utilizado para almacenar datos, en aritmética binaria o en electrónica. Los números se pueden mostrar fácilmente en visualizadores de siete segmentos enviando cada cuarteto BCD a un visualizador. La BIOS de un ordenador personal almacena generalmente la fecha y la hora en formato BCD; probablemente por razones históricas se evitó la necesidad de su conversión en ASCII.

La ventaja del código BCD frente a la representación binaria clásica es que no hay límite para el tamaño de un número. Los números que se representan en formato binario están generalmente limitados por el número mayor que se pueda representar con 8, 16, 32 o 64 bits. Por el contrario, utilizando BCD, añadir un nuevo dígito sólo implica añadir una nueva secuencia de 4 bits.

Código Gray

El código binario reflejado o código Gray, nombrado así en honor del investigador Frank Gray, es un sistema de numeración binario en el que dos valores sucesivos difieren solamente en uno de sus dígitos.

El código Gray fue diseñado originalmente para prevenir señales ilegales (señales falsas o viciadas en la representación) de los switches electromecánicos, y actualmente es usado para facilitar la corrección de errores en los sistemas de comunicaciones, tales como algunos sistemas de televisión por cable y la televisión digital terrestre.

Motivación

Las computadoras antiguas indicaban posiciones abriendo y cerrando interruptores. Utilizando tres interruptores como entradas usando Base 2, estas dos posiciones estarían una después de la otra:

...
011
100
...

El problema con el código binario en base 2 es que con interruptores mecánicos, es realmente difícil que todos los interruptores cambien al mismo tiempo. En la transición de los dos estados mostrados arriba, tres interruptores cambian de sitio. En el lapso en el que los interruptores están cambiando, se pueden presentar salidas de información espurias. Si las salidas mencionadas alimentan un circuito secuencial, probablemente el sistema presentará un error en entrada de datos.

El código gray resuelve este problema cambiando solamente un dígito a la vez, así que no existe este problema:

Decimal Gray Binario
   0     000    000
   1     001    001
   2     011    010
   3     010    011
   4     110    100
   5     111    101
   6     101    110
   7     100    111

tienes que tener en cuenta que para convertir de binarios a Gray los valores que deben ser sumados en base 2 toman los siguientes valores 1+1=0, 0+0=0 , 1+0=1 y 0+1=1 esta operación de forma vertical como se muestra en el siguiente ejemplo

1010
 1010
----
1111

Nótese que desde el 7 podría pasar a 0 con un solo cambio de switch (el más significativo pasa a cero). Esta es la propiedad llamada "cíclica" del código de Gray.

Código Gray de dos bits 00 01 11 10

Código Gray de tres bits 000 001 011 010 110 111 101 100

Código Gray de cuatro bits 0000 0001 0011 0010 0110 0111 0101 0100 1100 1101 1111 1110 1010 1011 1001 1000

Conversiones

Secuencia	Binario	Gray		Secuencia	Binario	Gray
0	0000	0000		8	1000	1100
1	0001	0001		9	1001	1101
2	0010	0011		10	1010	1111
3	0011	0010		11	1011	1110
4	0100	0110		12	1100	1010
5	0101	0111		13	1101	1011
6	0110	0101		14	1110	1001
7	0111	0100		15	1111	1000

Base 2 a Gray

Para convertir un número binario (en Base 2) a código Gray, simplemente se le aplica una operación XOR con el mismo número desplazado un bit a la derecha, sin tener en cuenta el acarreo.

Ejemplo: 1010 (Base 2) a gray

1010
 1010
----
1111

Otros ejemplos 0111(Base 2) a gray :

0111
 0111
------
0100

110101010001
 110101010001
------------
101111111001

Gray a Base 2

Definimos un vector ${\displaystyle g}$ conteniendo los dígitos en gray y otro vector ${\displaystyle b}$ destinado a contener los dígitos en Base 2

• ${\displaystyle g_{0}}$ es el dígito que se encuentra en el extremo izquierdo de la representación en código gray

• ${\displaystyle b_{0}}$ es el dígito de mayor peso y que se encuentra en el extremo izquierdo en la representación en Base 2

Luego resulta que: ${\displaystyle b_{n+1}={g_{n+1}}\oplus {b_{n}}}$ con la excepción de que ${\displaystyle b_{0}=g_{0}}$, la cual se puede resumir como:

El dígito de más a la izquierda en Base 2 es igual al dígito de más a la izquierda en código gray

Ejemplo Con el número ${\displaystyle g=1001}$ en código Gray.

Lo primero es decir que: ${\displaystyle b_{0}=g_{0}}$, por lo que para este caso: ${\displaystyle b_{0}=1}$. Luego siguiendo con el algoritmo: ${\displaystyle b_{n+1}={g_{n+1}}\oplus {b_{n}}}$ resulta que:
${\displaystyle b_{0}=g_{0}=1}$
${\displaystyle b_{1}={g_{1}}\oplus {b_{o}}=0\oplus 1=1}$
${\displaystyle b_{2}={g_{2}}\oplus {b_{1}}=0\oplus 1=1}$
${\displaystyle b_{3}={g_{3}}\oplus {b_{2}}=1\oplus 1=0}$

Esto da como resultado ${\displaystyle b=1110}$

Código Aiken

El código BCD Aiken es un código similar alcódigo BCD natural pero con los “pesos” o “valores” distribuidos de una manera diferente. En el códigoBCD natural, los pesos son: 8 – 4 – 2 – 1, en el código Aiken la distribución es: 2 – 4 – 2 – 1.

La razón de esta codificación es la de conseguir simetría entre ciertos números. Ver la simetría en el código Aiken corresponiente a los decimales: 4 y 5, 3 y 6, 2 y 7, 1 y 8, 0 y 9.

Analizar la tabla que se muestra en la figura anterior. Cada cifra es el complemento a 9 de la cifra simétrica en todos sus dígitos.(los “1” se vuelven “0” y los “0” se vuelven “1”). Ejemplo: 3 (0011) y 6 (1100).Tomar en cuenta los nuevos “pesos” en este código. El código Aiken es muy útil para  realizar operaciones de resta y división.

Código Exceso 3

El código Exceso 3 se obtiene sumando “3” a cada combinación del código BCD natural. Ver la tabla inferior. El código exceso 3 es un código en donde la ponderación no existe (no hay “pesos” como en el código BCD natural y código Aiken). Al igual que el código Aiken cumple con la misma característica de simetría. Cada cifra es el complemento a 9 de la cifra simétrica en todos sus dígitos.

Ver la simetría en el código exceso 3 correspondiente a los decimales: 4 y 5, 3 y 6, 2 y 7, 1 y 8, 0 y 9. Es un código muy útil en las operaciones de resta y división.